www.fmath.info

Mitte palju noorem kui need [õpilaste Platon ] On Euclid, kes esitas koos "elemendid", korraldades et paljud Eudoxus 's teoreeme, viimistlusjärgus paljud Theaetetus' s, ja ka tuues ümberlükkamatu tutvustamistegevuse asjad, mida oli ainult nõrgalt tõendatud tema eelkäijad. See mees elas ajal esimese Ptolemaios; jaoks Archimedes, kes tähelepanelikult jälginud pärast esimest Ptolemaios teeb mainita Euclid ja edasi nad ütlevad, et Ptolemaios kord temalt, kui oleks shorted viis uuringu geomeetria kui elemendid, mille Ta vastas, et ei ole kuninga tee geomeetriat. Ta on seega noorem kui Platon 's ringi, kuid vanemad kui Eratosthenes ja Archimedes; nende olid kaasaegsed, nagu Eratosthenes kusagil ütleb. Tema eesmärk oli ta Platonist, olles kaastunnet selle filosoofia, kust ta tegi lõpuks kogu "elemendid" ehituse nn Platon arvud.

On muud teavet Euclid antud teatud autorid, kuid see ei peetud usaldusväärseks. Kaks eri tüüpi see täiendav teave on olemas. Esimest tüüpi täiendav teave on esitatud Arabian autoreid, kes väidavad, et Euclid oli poeg Naucrates ja et ta sündis Rehvi. Arvatakse, ajaloolased matemaatika, et see on täiesti fiktiivne ja oli lihtsalt väljamõeldud autorid.

Teist liiki teave, et Euclid sündis Megara. See on tingitud vea autorite, kes esimesena andis selle teabe. Tegelikult ei Euclid of Megara, kes oli filosoof, kes elas umbes 100 aastat enne matemaatik Euclid Aleksandria. See pole päris juhus, et võib tunduda, et oli kaks õppinud meeste kutsus Euclid. Tegelikult Euclid oli väga üldine nimetus umbes selle aja jooksul ja see on üks veelgi keerulisemaks, et on raske leida teavet Euclid Aleksandria sest seal on viited paljudele meestele kutsus Euclid Kirjanduses selle aja.

Pala tsitaat Proklos Ülaltoodud on esimene küsimus on see, et miski ei ole ka tutvumine antud. Kuigi me ei tea teatud täpselt viitega Euclid in Archimedese töö Proklos viitab, mil on tulnud ette, et meil on ainult üks viide Euclid ja see leiab aset võttis kuuli ja silindri. Ilmne järeldus seega on, et kõik on hästi argument Proklos ja see endale kuni vaidlustanud Hjelmslev aastal. Ta väitis, et viide Euclid lisati Archimedes broneerida hiljem, ja seda ta tõepoolest on üllatav viide. See ei olnud traditsioon aeg anda sellised viited, lisaks on palju muid kohti, Archimedes, kus oleks asjakohane viidata Euclid ja puudub selline viide. Vaatamata Hjelmslev väited, et teekonda on lisatud hiljem, Bulmer-Thomas kirjutab:

Kuigi see ei ole enam võimalik tugineda käesoleva võrdlusperioodi üldine läbivaatamine Euclid teoste ... ikka näitab, et ta peab olema kirjutatud pärast seda, kui õpilased Platon kui Eudoxus ja enne Archimedes.

Edasise arutelu dating Euclid, vt nt. See ei ole kaugeltki lõpp argumentidega Euclid matemaatik. Olukord on kõige paremini kokku Itard kes annab kolme võimalikku hüpoteese.

(i) Euclid oli ajaloolise kes kirjutas Elements ja muude teoste temaga seostada.

(ii) Euclid oli liider meeskond matemaatikud töötavad Alexandria. Nad kõik aitasid kaasa kirjalikult "teosed Euclid", isegi jätkuvalt kirjutada raamatute alusel Euclid nimi pärast tema surma.

(iii) Euclid polnud ajaloolist olemust. "Teosed Euclid" kirjutas meeskond matemaatikud kell Alexandria, kes võttis nime Euclid alates ajaloolise Euclid of Megara, kes elas umbes 100 aastat varem.

Tasub remarking et Itard, kes võtab Hjelmslev väited, et läbipääsu umbes Euclid lisati Archimedes, eelistab teine kolmest võimalusest, et eespool loetletud. Me peaksime siiski teha mõned märkused kolm võimalust, mis on õiglane öelda, Kokkuvõttes päris hästi kõik võimalik olemasolevaid teooriaid.

On mõned kindlad tõendid vastu (i). See võeti vastu ilma kõnealuse igaüks enam kui 2000 aastat ning on vähe tõendeid, mis on vastuolus selle hüpoteesi. On tõsi, et erinevused on stiili vahel mõned raamatud elementide veel paljud autorid erinev nende stiil. Jällegi, et Euclid kahtlemata põhineb elementide eelmiste tööde tähendab, et see oleks üsna tähelepanuväärne, kui ei jälgi stiili esialgne autor jäi.

Isegi kui võtame (i), siis on vähe kahtlust, et Euclid ehitada tugevat kooli matemaatika on Alexandria. Seetõttu ta oleks pidanud mõned suutnud õpilasi, kellel võib olla aidanud läbi kirjalikult raamatuid. Kuid hüpoteesi (ii) läheb märksa kaugemale ning võib oletada, et eri raamatud on kirjutatud eri matemaatikud. Muud kui erinevused stiilis eespool nimetatud, on vähe otseseid tõendeid.

Kuigi esimesel pilgul see (iii) võib tunduda kõige tujukas kolme ettepanekuid, siiski ^20. sajandi näide Bourbaki näitab, et see pole kaugeltki võimatu. Henri Cartan, André Weil, Jean Dieudonné, Claude Chevalley ja Alexander Grothendieck kirjutas kollektiivselt nime all Bourbaki ja Bourbaki 's Eléments de mathématiques sisaldab rohkem kui 30 osa. Muidugi kui (iii) oli õige hüpotees siis Apollonios, kes õppinud õpilaste Euclid Alexandria, peab olema teada ei olnud isik "Euclid", vaid asjaolu, et ta kirjutas:

.... Euclid ei töötanud läbi sünteesi kohta lookuse suhtes kolme ja nelja, vaid võimalus osa sellest ...

Kindlasti ei tõenda, et Euclid oli ajaloolise sest seal on palju sarnaseid viiteid Bourbaki poolt matemaatikud, kes teadis väga hästi, et Bourbaki oli fiktiivne. Siiski matemaatikud, kes koosneb Bourbaki meeskond on kõik hästi teada oma õigusest ja see võib olla kõige suurem argument hüpoteesi (iii) et "Euclid meeskond" oleks pidanud koosnes täitmata matemaatikud. Nii et kes nad on?

Meil võtab käesolevas artiklis, et hüpotees (i) on tõsi, kuid puudub teave Euclid, peame keskenduma oma tööde pärast teha mõned märkused võimalik ajaloolisi sündmusi. Euclid peab olema uuritud Platoni Akadeemia Ateena õppinud ja geomeetria Eudoxus ja Theaetetus mille ta oli nii tuttav.

Ükski Euclid teoseid on eessõna, vähemalt ükski on tulnud ette, et meid nii, et see on väga ebatõenäoline, et kunagi eksisteerinud, et me ei näe oma iseloomu, kui saame mõne muu Kreeka matemaatikud, mis laadi nende prefaces . Pappus kirjutab (vt näide), et Euclid oli:

... Kõige õiglased ja eelnevalt hästi hävitada poole kõik, kes suutsid ükskõik meetmena ette matemaatikat, hoolikalt kuidagi anda kuriteo ja kuigi täpne õpetlane ei vaunting ise.

Mõned väidavad, need sõnad on lisatud Pappus ja kindlasti punkti teekonda (jätkumine mida me ei ole noteeritud) on rääkida karmilt (ja peaaegu kindlasti ebaõiglaselt) ja Apollonios. Pilt Euclid tõmmatud Pappus on aga kindlasti kooskõlas tõendeid tema matemaatilist teksti. Teine lugu öelnud Stobaeus on järgmine:

... keegi, kes oli hakanud õppima geomeetriat koos Euclid, kui ta oli õppinud esimene lause, küsis Euclid "Mida ma saan õppides neid asju?" Euclid nimetatakse tema ori ja ütles: "Andke talle kolmepennine münt kuna ta peab tegema saada sellest, mida ta õpib."

Euclid kuulsaim töö on tema traktaadi kohta matemaatika elemendid. Raamatu koostamist teadmisega, et sai keskus matemaatika õpetamise jaoks 2000 aastat. Tõenäoliselt ei tulemusi Elements esmakordselt tõestada Euclid, kuid korralduse Kemikaal ja tema käsiraamatus on kindlasti tänu temale. Tegelikult on piisavalt tõendeid, et Euclid kasutab varasema õpikute kui ta kirjutab Elements kuna ta tutvustab üsna hulga mõisteid, mis on kunagi kasutanud nagu on piklikud, romb ja rombikujuliste.

Elemendid algab määratlused ja viis postuleerib. Esimesed kolm postuleerib on postuleerib, ehitus, näiteks esimese Hüpotees, et on võimalik koostada sirge tahes kahe punkti vahel. Need postuleerib kaudselt ka enda olemasolu punktid, jooned ja ringid ja siis on olemas ka muud geomeetrilised objektid järeldada asjaolust, et need on olemas. On ka teisi eeldused postuleerib, mis ei ole selge. Näiteks eeldatakse, et on olemas unikaalne joon, mis ühendab kõik kaks punkti. Samuti eeldab, kaks ja kolm, toota sirgjoont ja joonis ringid vastavalt enda unikaalsust objektid võimalus, mille ehitamine on omane.

Neljas ja viies postuleerib on erinevad. Hüpotees neli, et kõik on korras nurgad on võrdsed. See võib tunduda "ilmne", kuid tegelikult eeldab, et ruumi homogeenne - selle me mõtleme, et näitaja ei sõltu positsioon ruumi, kuhu see pannakse. Kuulus viies või paralleelselt Hüpotees, et üks ja ainult üks rida võib teha läbi punkti paralleelselt antud liin. Euclid otsus teha see Hüpotees viinud Eukleidese geomeetria. Alles ^19. sajandil, et see Hüpotees oli langenud ja mitte-eukleidiline mõõtmete uuriti.

Samuti on aksioomat mis Euclid kõnede Üldine mõisted ". Need ei ole konkreetse geomeetrilised omadused, vaid pigem üldise eeldused, mis võimaldavad matemaatika minna kui deduktiivne teadust. Näiteks:

Asjad, mis on võrdne sama asi on võrdsed üksteisega.

Zenon Sidon, umbes 250 aastat pärast Euclid wrote elemendid, näib olevat olnud esimene, kes näitavad, et Euclid's propositions ei olnud tuletada postuleerib ja aksioomat üksi ja Euclid ei tee muud varjatud eeldusi.

Elemendid on jagatud 13 raamatut. Raamatud üks juurde kuus tegelema Tasogeometria. Eriti raamatuid üks kuni kaks sätestatud põhilised omadused kolmnurgast paralleele, parallelograms, ristküliku ja ruudu. Broneeri kolmes uuringus omadused ringi samas raamatu nelja tegeleb probleemidest ringi ja arvatakse üldiselt, et esitatud tööd järgijaid Pythagoras. Broneeri viis pandi tööle Eudoxus käsitleva osa suhtes paras ja incommensurable magnituudi. Heath ütleb:

Kreeka matemaatika võib kiidelda ei Peenema DISCOVERY kui see teooria, mis panna kindlale alusele nii palju geomeetriat kui sõltus kasutamise osakaal.

Broneeri kuus vaadeldakse taotluste tulemused raamat viis kuni Tasogeometria.

Raamatud seven juurde üheksa tegeleda arv teooria. Eelkõige raamat seitse on iseseisva sissejuhatuse arvuteooria ja sisaldab Eukleidese algoritmi leidmiseks suurim ühistegur kahe arvuga. Broneeri kaheksa vaadeldakse numbreid geomeetrilise progressiooni kuid van der Waerden kirjutab, et see sisaldab:

... tülikas enunciations, tarbetuid kordusi ja isegi loogiline fallacies. Ilmselt Euclid käsiraamatu silma paistnud ainult need osad, kus ta on suurepärane allikatest tema käsutuses.

Broneeri kümne tegeleb teooria irratsionaalne arv ja peamiselt töö Theaetetus. Euclid muutunud tõendite mitmeid teoreeme see raamat, et nad on paigaldatud uus määratlus osa antud Eudoxus.

Raamatud eleven juurde thirteen tegeleda kolmemõõtmelise geomeetria. Raamatu kolmteist põhimõisted vaja kolm raamatut kokku on toodud. Teoreemide järgige üsna sarnane, et kahemõõtmeline analoogidega varem esitatud raamatuid üks kuni neli. Peamised tulemused raamat kaksteist on, et ringid on ühe teise, ruudud nende läbimõõdu ja valdkonnad on üksteisega kuubikud nende läbimõõdud. Need tulemused on kindlasti tingitud Eudoxus. Euclid osutub nende teoreemide abil "meetod ammendada" on leiutatud Eudoxus. Elemendid lõpeb raamat kolmteist, mis käsitleb omaduste viis regulaarselt polyhedra ja annab tõendi, et on täpselt viis. See raamat tundub olevat suures osas põhinema varem traktaat poolt Theaetetus.

Euclid elemente on tähelepanuväärsed selgust, millega teoreeme on kirjas ja tõendatud. Tase rangust oli muutunud eesmärgiks leiutajad calculus sajandit hiljem. Nagu Heath kirjutab:

See suurepärane raamat koos kõigi oma puudustele, mis on tõepoolest veidi piisa, kui arvesse võtta kuupäeva, selgus, on ja jääb kindlasti veel suurem matemaatiline õpik kogu aeg. ... Isegi kreeka korda kõige saavutatud matemaatikud okupeeritud ise seda Heron, Pappus, porfüür, Proklos ja Simplicius wrote kommentaaride; Theon Aleksandria re-edited see muutmata, keel siin ja seal, enamasti, et suurem selgus ja järjepidevus. ..

See on põnev lugu, kuidas elemendid on säilinud Euclid aja ja seda on rääkinud hästi Fowler aastal. Ta kirjeldab esimesel materjali seotud osad, mis on säilinud:

Meie esimesel pilguheit eukleidiline materjal on kõige tähelepanuväärsed tuhat aastat, kuus fragmentaarne ostraca sisaldab teksti ja joonist ... leitud Tülikas Island 1906/07 ja 1907/08 ... Need tekstid on alguses, kuid siiski rohkem kui 100 aastat pärast surma Platon (Nad on kuupäevaga palaeographic alust kolmanda kvartali kolmanda sajand eKr); levinud (nad tegelevad tulemust leitud "elemente" [raamat kolmteist] ... kohta viisnurk, kuusnurk, decagon ja Ikosaeeder); ja nad ei järgi teksti elemente. ... Nii nad ütluste kellegi kolmanda sajandil eKr, mis asub rohkem kui 500 miili lõuna Alexandria, töö kaudu see raske materjali ... seda võib püüda mõista matemaatika ja ei Orjallinen kopeerimine ...

Järgmine kild, et meil on kuupäevad 75-125 AD ja jälle tundub märgib keegi üritab mõista materjali Elements.

Üle tuhande väljaanded elemendid on avaldatud, kuna see oli esimene trükitud 1482. Heath arutab paljud väljaanded ja kirjeldab tõenäoliselt muutub tekstiks aastate jooksul.

BL van der Waerden hindab tähtsust elemente:

Peaaegu alates ajast, selle kirjalikult ja püsiva peaaegu kohal, elemendid on kasutanud pidevalt ja olulist mõju inimeste asjadesse. See oli peamine allikas geomeetriline põhjendusi, teoreeme, ja meetodite vähemalt kuni saabumisega mitte-eukleidiline geomeetria 19. sajandil. Mõnikord öeldakse, et kõrval Piibel, "elemente" võib olla kõige ümber, mis on avaldatud ja uuritud kõik raamatud toodetud lääne maailma.

Euclid kirjutas ka järgmised teosed, mis on üle elanud: Data (millest 94 propositions), mis vaatleb millised omadused arvud võib järeldada, kui muud omadused on esitatud; On rajoonid, mis vaatleb konstruktsioonid jaotada joonis kahest osast, mille linnades on antud suhe; Optika mis on esimene kreeka töö seisukohast; ja Phaenomena mis on elementaarne tutvustus matemaatilise astronoomia ja annab tulemusi korda stars teatud kohtadesse tõuseb ning määrata. Euclid's järgmised raamatud on kõik kadunud: Surface loci (kaks raamatut), Porisms (kolm raamatut tööd vastavalt Pappus, 171 teoreemide ja 38 lemmas) Koonuselõiked (neli raamatut), raamat Fallacies ja Elements of Music. Broneeri aasta Fallacies on kirjeldatud Proklos:

Kuna paljud asjad tunduvad vasta tõele ning tulenevad teaduslikel põhimõtetel, kuid petma alates põhimõtted ja petab rohkem pindmised, [Euclid] on langetanud meetodite selge nägemisega arusaamist nendes küsimustes ka ... Uurimus, mille ta andis see masin meile on õigus Fallacies, loetleda, et erinevaid, kasutades meie luure iga juhtumi teoreemide igasuguseid, milles tõsi kõrval vale, ja ühendada ümberlükkamine vea koos praktilise näite.

Elements of Music on töö, mis on tingitud Euclid poolt Proklos. Meil on kaks traktaatides muusika, mis on säilinud, ja on mõned autorid omistatud Euclid, kuid nüüd mõtlesin, et nad ei ole tööd muusika, millele Proklos.

Euclid ei olnud esimese klassi matemaatik, kuid pika püsivuse elemendid peavad teda juhtiv matemaatika õpetaja antiikajast või ehk kõigi aegade. Kuna lõplik märkus lubage mul lisada, et minu [EFR] oma sissejuhatuses matemaatika koolis 1950ndatel aastatel oli alates väljaande osa Euclid elemente ja töö ette loogiline alus matemaatika ja mõiste tõendeid, mis tunduvad olevat puudulikud koolis matemaatikas täna.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland