www.fmath.info

Kindlasti liigub kooli ei mõjuta Gentzen akadeemiline saavutused, kui ta sai Abitur aastal 1928 see oli vahet ja ta järjestab top koolis. In Robbel kirjeldab intellektuaalse maailma noorte Gentzen eriti uurida mõjutab teda tema vanavanemate (eriti Bilharz) ja tema vanematega. Tulemusi oma 1928 Reifeprufung uurimine on esitatud liites. Koolidirektor ja Humanistische Gümnaasiumis oli kindlasti muljet tulemused ja, tunnustades tema erandlik matemaatilisi võimeid, andis talle ülikooli stipendiumi.

Gentzen, nagu oli tavaks sel ajal esitas erinevate Saksa ülikoolides. Ta alustas oma matemaatiliste uuringute Greifswaldi Ülikool 1928 sealt pärast seal õppinud kaks semestrit, ta asus Göttingeni ülikooli õigusteaduse 22. aprillil 1929. Jälle veetis ta ainult kaks poolaastat enne liikuma, seekord Müncheni Ülikooli, kus ta veetis vaid ühe semestri järgnes veel üks semester ülikoolis Berliinis. Pärast seda naasis ta Göttingenis, kus ta töötas alusel Weyl tema doktor aluseid matemaatikas. Ta õpetab Bernays, Carathéodory, Courant, Hilbert, Kneser, Edmund Landau ja muidugi, tema juhendaja Weyl.

1933 Gentzen sai doktorikraadi poolt Göttingen kuid Intensiivõpe erinevates keskkondades oli teinud oma töö nii et ta pidi praegu koju, et puhata ja taastada oma tervist. Ta naasis Göttingen, muutub Hilbert 'i assistendina 1934. ME Szabo kirjutab:

... ta jätkas tööd [at Göttingen] isegi pärast Hilbert 's pensionile. Nende aastate jooksul Gentzen avaldatud mõned tema kõige olulisemad dokumendid ja anti ka vastutavad ülesande läbi mitmete teoste väljapaistvate teadlaste paljudes riikides Zentralblatt für Mathematik. Neid kommentaare tõendada oma erakorralisi erinevaid huve ja suurel määral oma osalust rahvusvahelise kogukonna teadlased.

Nagu me oleme öelnud, Gentzen töö oli loogika ja sihtasutuste matemaatika. Ta esitas oma esimese raamatu Mathematische Annalen alguses 1932. Paber uuringute teooria "lause süsteemide ja vastused suur avatud probleemi suhtes, ehitades counterexample näidata, et mitte kõik lause süsteemid on sõltumatu aksioom süsteemid. Kuid ta näitas ka, et lineaarne lause süsteemid ei ole sõltumatut aksioom süsteemid. Ta võttis kasutusele mõiste "loogiline", mis on sätestatud loogika lähemale matemaatilist põhjendust kui süsteemi pakutud Frege, Russell ja Hilbert. See mõte oli hiljem omistada Tarski kes tutvustas ta 1936, kolm aastat pärast Gentzen.

1934 Gentzen andis viis sisutihedat Sequenzen, eeskirjad consequents, mis on eriti kasulik tulenevate metalogical decidability tulemusi. Hilbert oli tema töö enesestmõistetav meetodite ja klassifikatsiooni matemaatika arvesse tasandil. Idee tasandil, ilmselt esimene kehtestatud Weyl, leiab mitmeid teooria esimene tase, sest see käsitleb looduslike numbrid analüüsi teine tase, sest see käsitleb tegeliku arvu ja esitatud teooria kolmanda tasemeni, kus täiel määral ja Cantor 's kardinal ja järgarvud numbrid oleks uuritud. Gentzen kirjutas mitu tk neid mõisteid, eriti uurides esinemise Hulgateooria paradoksid.

Muidugi Gödel avaldas oma puudulikkust teoreem just sel ajal Gentzen hakkas oma töö. Algul Gentzen mures, et see mõjutab, mida ta tahtis saavutada ei sihtasutuste matemaatika ja ta loobus, milline oleks olnud tema teise paberi pärast ta oli parandatud lõplik tõestus, sest muret tähtsust Gödel 's teoreeme. Hiljem siiski, kirjutas ta on Gödel 's tulemuse juurde:

... See on kahtlemata väga huvitav, kuid kindlasti mitte murettekitav tulemus. Me ei sõnasta seda, öeldes, et arvuteooria no kord-ja-jaoks-kõik piisavalt süsteemi vormid järeldada saab määrata, kuid vastupidi, uusi teoreeme võib alati leida, mille tõestamiseks on vaja uut vormi järeldada.

Aastal raamatu avaldamata Mathematische Zeitschrift 1935 Gentzen kaks uut versiooni predikaattilogiikan nüüd nimetatakse N-süsteemi ja L-süsteem. Järgmisel aastal andis ta järjepidevuse tõendit poolest N-tüüpi loogika, et süsteem S aritmeetika on induktsioon. Gentzen kirjutas sissejuhatuses raamat:

Eesmärk on käesoleva raamatu eesmärk on tõendada järjepidevust elementaarne arvuteooria või pigem vähendada küsimus kooskõla teatud põhimõtteid.

Seejärel vaadeldakse, miks sellist järjepidevust tõendid on vajalikud:

Matemaatika peetakse kõige teatavad kõik teadused. Et see võiks viia tulemusteni, mis on vastuolus üksteisega tundub olevat võimatu. See usk Epäilyksetön kindel matemaatiline tõestus oli kahjuks loksutada ligikaudu 1900 avastamist antinomies või paradokse Hulgateooria. Selgus, et selle spetsialiseeritud allharu matemaatika, vastuolusid tekkida, ilma et meil oleks võimalik tunnustada teatud vea meie arutluskäiku.

Pärast arutelusid paradoksid, eriti Russell 's paradoks, Gentzen kirjutab:

... Ma teevad sellist järjepidevust tõendid elementaarne arvuteooria. Kuid isegi siin me peavad vastama vormide järeldada, kelle lähemal uurimisel annab meile põhjust muretsemiseks. ... Üks asi peaks aga olema algusest peale selge: need vormid järeldada, mis võiks pidada vaieldav peaaegu kunagi esineda tegelik arv teoreetilised tõendid, me ei tohi eksitada ja seetõttu väga ise tõendeid nende tõendite, leiavad kooskõla tõendid üleliigne.

Autor Gödel 's tõendamatus teoreem, nagu tõendid Gentzen andis oli kasutada tööriistu tugevam kui need, S; ulatub tavapärase matemaatilise induktsiooni, Gentzen tööle transfinite induktsiooni kuni Cantor' s esimene epsilon arv, ja ta näitas ka, et see oli minimaalne nõutav sellise tõendi esitamist.

Kleene kirjutas:

... millises ulatuses Gentzen tõendeid ei aktsepteerita tagada klassikalise arv teooria selles mõttes, et probleemi sõnastamisel on praeguse olukorra küsimus individuaalse otsuse.

Tarski kirjutas:

Gentzen's tõend järjepidevuse aritmeetika on kahtlemata väga huvitav metamathematical tulemus, mis võib osutuda väga stimuleeriv ja viljakas. Ma ei saa siiski öelda, et järjepidevus aritmeetika on nüüd palju selgemalt, mulle ... kui see oli enne tõend anti.

Gentzen's oli kõige väljapaistva panuse Hilbert 'i programmi axiomatising matemaatika. Aastal 1937 ta adresseeritud kongress Pariisis annab rääkida pealkiri mõiste lõpmatus ja järjepidevuse matemaatika. Tema suurepärast tööd, aga jäi lühikeseks alguseks II maailmasõda.

Gentzen jäi töötajate Göttingen aastani 1943, ehkki ta pidi tegema sõjaväeteenistust aastatel 1939 kuni 1941. Ta oli conscripted võetakse sõjaväkke, kus ta töötas telekommunikatsiooni. Ta sai haiget, aga, ja veetis kolm kuud taastumist sõjaväehaiglasse. Tema tervis oli nüüd liiga vaesed, et ta saaks jätkata oma ajateenistuse ja ta naasis Göttingen. Suvel 1942 esitas ta oma Suutlikkuse Thesis Provability ja nonprovability piiratud transfinite esilekutsumiseks elementaarne arvuteooria, et Göttingeni ja andmise kohta, mil määral ta oleks olnud õigus õpetada ülikoolides.

Osana Saksa sõja jõupingutusi, ta asus õpetamise postituse Dozent matemaatilises Instituudi saksa ülikoolis Prahas ja õpetas seal kuni arreteeritud ja vahi alla võetud. Kodanike Praha tõusis mässu vastu okupatsioon Saksa vägede 5. mail 1945, päeval kõigi töötajate Saksa Ülikool arreteeriti ja leidis linnas kuni Vene armee saabus neli päeva hiljem. Võinuks nimetada asjaolud Gentzen poliitilise ja sõjalise elu, et Vihan puudutab, nimelt tema koos SA NSDAP'i ja NSD Dozentenbund. Gentzen oli interneeritute Vene vägede ja hoitakse kehvades tingimustes. Ta suri alatoitluse pärast 3 kuud interneeritud. Sõber, kes oli vanglas temaga kirjeldatud tema viimastel päevadel:

Ma näen teda pikali oma puust nari mõtlemise päev umbes matemaatilised probleemid, mis muret temaga. Ta kord usaldatud on mulle, et ta oli tõepoolest üsna sisu, sest nüüd oli tal viimane aeg mõelda järjepidevuse tõendit analüüsi ... Ta puudutas ka ise teiste küsimustele nagu näiteks kunstlik keel, jne nüüd ja siis ta annaks lühikese rääkida ... olime pidevalt kinnitust, et formaalsused meie eraldumine oleks ainult võtta paar päeva kauem .... Ta soovis, et oleks võimalik tagasi Göttingeni ja pühenduda täielikult uurimine matemaatilise loogika ja sihtasutuste matemaatika. Ta oli unes instituudi selleks ...

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland