www.fmath.info

Zenon oli õpilase ja sõbra filosoof Parmenides ja õppinud temaga Elea. Eleatic School juhtivaid pre-Sokraatiline koolides kreeka filosoofia, ei olnud asutatud Parmenides in Elea Lõuna-Itaalias. Tema filosoofia monism väitis, et paljud asjad, mis paistavad olevat olemas on ainult üks igavene reaalsus, mida ta nimetas olemine. Tema põhimõte oli, et "kõik on üks" ja et muutus või mitte-olemine on võimatu. Kindlasti Zenon oli tugevasti mõjutanud argumendid Parmenides ja Platon ütleb, et kaks filosoofid külastas Ateena kokku umbes 450 eKr.

Vaatamata Platon 's kirjeldus visiit Zeno ja Parmenides, et Ateena, see ei ole kaugeltki üldtunnustatud, et visiit leidis tõepoolest aset. Kuid Platon ütleb meile, et Sokrates, kes oli siis noored kohtusid Zeno ja Parmenides oma visiidi Ateena ja arutasid filosoofia nendega. Arvestades parimad hinnangud sünniajad need kolm filosoofid Sokrates oleks umbes 20, Zeno umbes 40, ja Parmenides umbes 65 eluaastat, seega Platon 's väide on kindlasti võimalik.

Zenon oli juba kirjalikud tööd filosoofia enne visiidi Ateena ja Platon aruanded et Zenon raamat tähendas, et ta oli saavutanud teatud kuulsuse Ateena enne visiidi seal. Kahjuks ei ole töö Zenon on säilinud, kuid on väga vähe tõendeid, et ta kirjutas mitu raamatut. Raamat Zeno wrote enne visiidi Ateena oli oma kuulsa tööga, mis vastavalt Proklos, mis nelikümmend paradoksid kohta jätkamisele. Neli paradoksid, mida me arutame üksikasjalikumalt allpool, oleks sügav mõju arengule matemaatika.

Diogenes Laertios annab täpsemaid üksikasju Zeno elu, mida üldiselt arvatakse olevat usaldusväärsed. Zeno tagasi Elea pärast visiidi Ateena ja Diogenes Laertios väidab, et ta kohtus oma surmani kangelaslik püüavad eemaldada türann linnast Elea. Lugusid oma kangelas tegude ja piinamise käes türann võib olla puhas leiutisi. Diogenes Laertios ka kirjutab Zenon kosmoloogia ja jälle ei ole tõendusmaterjali kohta, kuid me anda teatava ülevaate allpool toodud andmed.

Zenon raamat nelikümmend paradoksid oli vastav Plato:

... nooruslik jõupingutusi ning see varastati kellegi poolt, et autor ei olnud võimalust kaaluda, kas seda avaldada või mitte. Selle eesmärk oli kaitsta süsteemi Parmenides, rünnates ühised arusaamad asjadest.

Proklos ka kirjeldatud töö ja kinnitab, et:

... Zeno töötanud nelikümmend erinevad paradoksid järgmine eeldusest, pluralismi ja liikumise, neile kõigile ilmselt põhineb tulenevate raskuste analüüsi jätkamisele.

Oma argumentide vastu ideele, et maailmas on rohkem kui üks asi, Zeno saadud tema paradoksid eeldusest, et kui suurusjärku võib jagada siis võib jagada lõputult sageli. Zeno eeldab ka, et asi, mis ei ole suurusjärku ei saa eksisteerida. Simplicius viimane juht Platoni Akadeemia Ateena, konserveeritud paljud killud varasemate autorite sealhulgas Parmenides ja Zenon. Kirjutamine esimesel poolel kuuenda sajandi selgitas ta Zeno argument, miks midagi ilma suurusjärku ei eksisteeri:

Sest kui on lisada midagi muud, see ei oleks suurem, ja kui see lahutatakse, siis ei oleks väiksem. Aga kui ta ei tee asja suuremaks kui lisada see ega väiksem kui lahutatakse see, siis näib ilmne, et mis oli lisatud või lahutada olnud midagi.

Kuigi Zeno väide pole täiesti veenev vähemalt, nagu Makin kirjutab:

Zenon väljakutse lihtsa paljususe on edukas, kuna ta jõud anti-Parmenideans rohkemat kui mõistust.

Paradoksid, et Zenon andis seoses algatusel enam hämmastav. Aristoteles, tema töö Füüsika annab neli Zeno argumendid, Dikotomia, Achilles, Arrow ja staadion. For lõhe, Aristoteles kirjeldab Zeno argument (in Heath 'i tõlge):

Ei ole algatusel, sest see, mis liigub peab saabuma keset selle muidugi enne, kui see saabub aasta lõpus.

Et traavers sirglõigu on vaja jõuda oma keskpunkti. Selleks üks peab saama ¹ / ₄ punkti, seda teha ühe jõudma ¹ / ₈ punkti ja nii edasi lõpmatuseni. Seega algatusel ei saa kunagi alustada. Argument ei ole siin vastas hästi tuntud lõpmatu summa

¹ / ₂ + ¹ / ₄ + ¹ / ₈ + ... = 1

Ühelt poolt Zeno väita, et summa ¹ / ₂ + ¹ / ₄ + ¹ / ₈ + ... tegelikult kunagi jõuab 1, kuid hämmastav, et inimmõistus on katsed summa ¹ / ₂ + ¹ / ₄ + ¹ / ₈ + ... tagasi. Enne liiklevad ühiku kaugusel peame jõudma keskmisele, kuid enne saada Lähis-meil tuleb ¹ / _4, kuidas, kuid enne saame ¹ / ₄ sellest, kuidas me peame jõudma ¹ / _8, kuidas jne See väide paneb meid mõistma, et me ei saa kunagi alustada, sest me püüame üles ehitada see lõpmatu summa alates "vale" lõppu. Tegelikult on see kaval väide, mis ikka veel mõistatusi inimmõistuse täna.

Zeno alused nii lõhe paradoks ja rünnakut lihtsa paljususe kohta, et üks asi on jagatavad, siis on lõputult jagatav. Võiks võidelda tema paradoksid, mille puhul võetakse aatomi teooria, milles küsimus oli, kuhu kuuluvad paljud väikesed jagamatud osad. Kuid teiste paradokside antud Zeno tekitada probleeme just neil juhtudel ta leiab, et näiliselt pidevalt suuruste koosnevad jagamatud osad. Selline paradoks on "Arrow" ja jälle me anname Aristotelese 's kirjeldus Zeno argument (in Heath' i tõlge):

Kui ütleb, Zeno, kõik on kas rahuolekus või liikudes, kui ta kasutab ruumi võrdne ise, kuigi eesmärgiks viia on kiire, liikuv nool on rahulik.

Väide tugineb asjaolule, et kui on jagamatu hetk aega noolt liigutada, siis tõesti see hetk aega oleks jagub (näiteks väiksemate "instant" aja nool oleks liikunud pool kaugusel). Aristoteles väidab vastu paradoks, väites:

... aega ei koosne jagamatu "nows", mitte rohkem, kui mis tahes muu suurus.

Kuid seda peetakse mõne puhul ebaoluliseks Zeno argument. Lisaks eitada, et "nüüd" olemas vahetu mis jagab möödunud tulevik näib ka minna vastu intuitsiooni. Muidugi kui kiire "nüüd" ei ole, siis nool kunagi kulub iga konkreetse seisukoht ja see ei tundu õige kas. Jällegi Zeno esitas sügav probleem, kes vaatamata sajandeid kestnud jõupingutusi, et lahendada tuleb aga tundub, et puudub täiesti rahuldav lahendus. Nagu Frankel kirjutab:

Inimese vaimu, kui nad püüavad endale täpse ülevaate algatusel leiab end vastamisi kaks aspekti nähtus. Nii on paratamatu, kuid samal ajal nad on teineteist välistavad. Kas me vaatame katkematu liikumise, siis on võimatu, et me mõtleme objekti ühegi konkreetse seisukoha. Või mõtleme ese hõivatakse kõik seisukohad, mille kaudu oma muidugi toob see ja samal ajal, millega meie mõtlemist, et teataval ametikohal ei saa me aidata, millega objekt ise ja paigutades selle ülejäänud ühe lühikese kohe.

Vlastos (vaata) märgib, et kui me kasutame standard matemaatilise valemi kiirus on meil v = s / t, kus s on läbitud teepikkus ja t on aeg võtta. Kui me vaatame kiirus kohe saame v = _⁰ / ^0, mis on mõttetu. Seega on õiglane öelda, et Zenon on siin rõhutada, matemaatiline probleem, mida ei saa lahendada nõuetekohaselt kuni piirid ja diferentseeritud calculus uuriti ja panna õige alustel.

Nagu näha eeltoodud arutelust, Zenon paradokse on oluline arengu mõiste infinitesimals. Tegelikult mõned autorid väidavad, et Zenon on suunatud tema paradoksid nende vastu, kes olid sisse infinitesimals. Anaksagoras ja järgijate Pythagoras, nende arengut incommensurables on ka mõelnud mõne tuleb eesmärkide Zeno argumendid (vt näide). Kindlasti tundub ebatõenäoline, et põhjusena nimetas Platon, nimelt kaitsta Parmenides "filosoofiline positsioon, ongi seletus, miks Zenon kirjutas oma kuulsa töö paradoksid.

Tuntuimad Zeno argumendid on kahtlemata Achilleus. Heath 's tõlge Aristotelese' s Füüsika on:

... aeglasem kui töötab kunagi asendatud kiiremini; puhul, mis järgib tuleb kõigepealt jõuda punkti, kus see, mis on põgenenud alanud, nii et aeglasem peab tingimata alati kaugel ees.

Enamik autoreid, alustades Aristoteles, vaata see paradoks tuleb sisuliselt sama Dikotomia. Näiteks Makin kirjutab:

... kui Dikotomia saab lahendada, Achilleuse võimalik lahendada. Resolutsioonid on paralleelsed.

Nagu enamik avaldusi Zenon paradokse, ei ole täiesti nõus ühegi konkreetse seisukoha. Näiteks Toth vaidlusi sarnasus kahe paradoksid, väites, et Aristotelese sõnavõtuga jäta palju soovida, ning soovitab, et mõlemad väited on täiesti erinevad struktuurid.

Nii Platon ja Aristoteles ei mõistaksid tähtsust Zeno argumendid. Nagu Heath ütleb:

Aristoteles nimetatakse neid "fallacies", ilma et oleks võimalik kummutada neid.

Russell kindlasti ei alahinnata Zenon tähtsust, kui ta kirjutas:

Sel kapriisne maailmas pole midagi kapriisne kui surmajärgne kuulsus. Üks kõige olulisematele ohvrite järelpõlv puudumist kohtuotsuse Eleatic Zeno. Võttes väljamõeldud neli argumenti kõik mõõtmatult väike ja sügav, grossness hilisemate filosoofide hääldatakse teda lihtsalt geniaalne trikimees ja oma argumendid üheks ja kõik sophisms. Pärast kaks tuhat aastat pidevat ümberlükkamist, need sophisms oli taastada ning tehakse asutamisel matemaatilise renessanss ....

Siin Russell mõtleb töö Cantor, Frege ja ennast lõputult ja eriti Weierstrass kohta calculus. Kui suhe paradokse, et matemaatika on ka arutada, ja autor jõuab järeldusele sarnane Frankel eespool tsitaat:

Kuigi need on sageli jätta loogiline nonsenss, paljud katsed on tehtud ka nende müümine abil matemaatiliste teoreemide, nagu teooria lähedased seeria või teooria kehtestatud. Lõpuks siiski raskustest tema argumendid on alati tagasi tulla Julmetusti, et inimmõistus on ehitatud nii, et seda saab vaadata katkematu kahel viisil, mis ei ole päris kattu.

On raske öelda täpselt, millist mõju paradokse Zenon oli arengu kohta Kreeka matemaatika. BL van der Waerden (vaata) väidab, et matemaatilisi teooriaid, mis töötati aasta teises pooles viiendal sajandil eKr näitavad, et Zenon töö olnud vähe mõju. Heath siiski tundub, et avastada suuremat mõju:

Matemaatikud, aga ... mõistes, et Zenon argumendid olid surmavad infinitesimals, nägin, et nad saaksid vaid vältida probleeme seoses neile üks kord ja alatiseks banishing idee lõpmatult, isegi potentsiaalselt lõpmatu, kokku oma teadus; thenceforth, mistõttu nad ei kasutanud suurusjärke suureneb või väheneb lõpmatuseni, kuid rahuloleva ise piiratud suurus, mida saab teha nii suur või nii väike kui me please.

Märkisime eespool, et Diogenes Laertios mis kirjeldab kosmoloogia, et tema arvates on tingitud Zeno. Vastavalt tema kirjeldus, Zeno kavandatud universumis, mis koosneb mitmest maailma, mis koosneb "soe" ja "külm" kuiv "ja" kuiv ", kuid mitte tühine või tühja ruumi. Kuna see tundub olevat midagi ühist tema paradoksid, et on tavaline, et võtta rida, Diogenes Laertios on viga. Siiski on mõningaid tõendeid, et selline veendumus oli umbes viiendal sajandil eKr, eelkõige seotud meditsiini teooria ja see oleks olnud lihtne Zenon versioon veendumuste leidnud poolt Eleatic kooli.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland